26.7 KB · ⇊ 8 parts · ⤓ Micron 26.7 KB · ⤓ HTML 64.2 KB

top

Un mwdgnumero, in mwdwmatematica, è un modo di esprimere una quantità, oppure la posizione in un elenco di elementi, oppure il rapporto tra grandezze dello stesso tipo.cite-ref-1[1] Il concetto di numero nasce per la necessità del conteggio, come mwfaastrazione del mwfqconcetto di quantità, realizzato attraverso una mwfgcorrispondenza biunivoca tra elementi di due mwfwinsiemi distinti.

Si definisce mwgqoperazione numerica una procedura che, a partire da uno o più numeri, genera un altro numero. Le operazioni numeriche fondamentali (dette anche "operazioni aritmetiche") sono: l'mwggaddizione, la mwgwsottrazione, la mwhamoltiplicazione e la mwhqdivisione. Lo studio delle proprietà di queste operazioni è parte dell'mwhgaritmetica elementare.

Un insieme di numeri è frequentemente espresso attraverso il concetto di mwiacampo.

• Tipi di numeri

• Numeri naturali

• Numeri interi relativi

• Numeri razionali

• Numeri algebrici

• Numeri reali

• Numeri complessi

• Insiemi ipercomplessi

• Quaternioni

• Ottonioni

• Sedenioni

• Trigintiduoni

• Notazione

• Estensioni dei reali

• Somiglianze nelle varie culture

• Note

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Un numero che esprime la dimensione di un insieme di elementi, così come un numero che identifica la posizione in una successione di oggetti, è detto mwkqnumero naturale. La necessità di esprimere una grandezza in relazione ad un'altra grandezza ha reso necessaria l'introduzione di altre classi di numeri, come i mwkgnumeri razionali ed i mwkwnumeri reali. L'esigenza di rappresentare il numero ottenuto attraverso un'operazione matematica, infine, ha giustificato l'utilizzo di ulteriori classi di numeri come, ad esempio, i mwlanumeri algebrici.

Durante la storia della matematica sono stati definiti diversi mwlwinsiemi numerici. Tra questi i mwmanumeri naturali, che sono:

mwmw 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , … … {\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\ldots }

I numeri naturali (il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo mwnq N {\displaystyle \mathbb {N} } ) sono usati per mwngcontare e per mwnwordinare. La presenza dello mwoazero fra i numeri naturali dipende dalla convenzione scelta. Lo zero è previsto dagli mwoqassiomi di Peano.

L'insieme dei numeri naturali costituisce una mwowsuccessione ordinata. Ogni numero è descritto tramite una o più mwpacifre.

Se a partire dall'insieme dei numeri naturali si introduce il segno (e lo zero se non incluso), distinguendo tra mwpwnumeri positivi e mwqanumeri negativi, si ottengono i mwqqnumeri interi relativi (o semplicemente mwqginteri), il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo mwqw Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . I numeri interi relativi sono:

mwrg … … − − 3 , − − 2 , − − 1 , 0 , 1 , 2 , … … {\displaystyle \ldots -3,-2,-1,0,1,2,\ldots }

Se a partire dai numeri interi si costruiscono numeri dati dal rapporto tra di loro, si ottengono i mwsqnumeri razionali, i quali sono quindi esprimibili tramite una mwsgfrazione (mwswratio in mwtalatino, da cui il nome di numeri "razionali"). Ad esempio:

mwtw 2 3 , − − 7 4 , 11 17 , … … {\displaystyle {\frac {2}{3}},-{\frac {7}{4}},{\frac {11}{17}},\ldots }

L'insieme di tutti i numeri razionali è per convenzione indicato col simbolo mwuq Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .

I mwvanumeri algebrici sono numeri ottenibili come mwvqradici di equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri razionali sono algebrici. Il viceversa non è in generale vero; ad esempio:

mwwa 2 , 5 3 , 3 11 {\displaystyle {\sqrt {2}},{\sqrt[{3}]{5}},{\sqrt {\frac {\sqrt {3}}{11}}}}

sono numeri algebrici che non possono essere descritti tramite una frazione, non sono razionali.

Un numero non algebrico è detto mwwwtrascendente. Ad esempio, mwxa π π {\displaystyle \pi } (mwxqpi greco) ed mwxg e {\displaystyle e} (mwxwnumero di Nepero) sono trascendenti: non è possibile ottenere mwya π π {\displaystyle \pi } come radice di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.

L'insieme dei mwywnumeri reali comprende i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il mwzasistema numerico decimale. I numeri reali comprendono i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.

L'insieme dei numeri reali è simboleggiato per convenzione con mwzg R {\displaystyle \mathbb {R} } .

L'insieme dei numeri reali non fornisce tutte le soluzioni delle mwaqequazioni algebriche. Per esempio, l'equazione:

mwba x 2 = − − 1 {\displaystyle x^{2}=-1}

non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché il quadrato di un numero reale è sempre positivo o nullo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'mwbgunità immaginaria mwbw i . {\displaystyle i.} Essa è così definita:

mwcg i 2 = − − 1. {\displaystyle i^{2}=-1.}

Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, esso appartiene all'insieme dei mwdanumeri complessi. In generale, un numero complesso è un'espressione del tipo:

mwdw a + b i , {\displaystyle a+bi,}

dove mweq i {\displaystyle i} è l'unità immaginaria e mweg a , b {\displaystyle a,b} sono numeri reali. L'insieme dei numeri complessi è indicato per convenzione con il simbolo mwew C {\displaystyle \mathbb {C} } .

Gli insiemi numerici sono ciascuno mwfqsottoinsieme dell'altro, secondo quest'ordine (dove il simbolo mwfg ⊂ ⊂ {\displaystyle \subset } indica l'mwfwinclusione stretta):

mwgg N ⊂ ⊂ Z ⊂ ⊂ Q ⊂ ⊂ R ⊂ ⊂ C . {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .}

Per particolari scopi, mwhq C {\displaystyle \mathbb {C} } , può essere ulteriormente esteso, al prezzo, però, di perdere alcune proprietà e, di conseguenza, subire un declassamento come mwhgstruttura algebrica.

I numeri complessi sono stati estesi e hanno dato luogo ai mwiqquaternioni. L'operazione di moltiplicazione dei quaternioni non gode della mwigproprietà commutativa.

Gli mwjqottonioni estendono i quaternioni. Questa volta si perde la mwjgproprietà associativa. Gli unici sistemi associativi con dimensione finita, oltre ai complessi, sono i quaternioni.

Estendendo gli ottonioni si ottengono i mwkqsedenioni, che perdono la proprietà dell'mwkgalgebra alternativa, ma mantengono comunque la mwkwproprietà associativa della potenza.

Estendendo i sedenioni si ottengono i trigintiduoni, che perdono la mwlwproprietà associativa della potenza.cite-ref-2[2]cite-ref-3[3]

I numeri vanno distinti per il tramite dei mwognomi, dato che i numeri sono dei concetti e anche se i nomi utilizzati nelle varie lingue variano i concetti rimangono gli stessi. La notazione di numero come serie di cifre è definita dai mwowsistemi di numerazione. I popoli spesso associano a dei numeri utilizzati di frequente dei nomi particolari, oltre a quelli che vengono assegnati dal sistema di numerazione, spesso questi nomi sono utilizzati in contesti specifici, un classico esempio è la mwpadozzina o anche il paio o anche il mwpgtrio.

Gli ultimi sviluppi della mwqqteoria dei numeri hanno condotto ai mwqgnumeri iperreali e ai mwqwnumeri surreali, che estendono i numeri reali dai numeri infinitesimi ai numeri infinitamente grandi attraverso degli inserimenti. Mentre i numeri reali sono infinitamente prolungabili alla destra del punto decimale, si può anche provare a espandere i numeri a sinistra in modo infinito, ciò conduce ai mwranumeri p-adici. Per gestire insiemi infiniti, i numeri naturali sono stati generalizzati nei mwrqnumeri ordinali e nei mwrgnumeri cardinali. Il primo insieme viene utilizzato per definire l'ordine di inserimento degli insiemi; il secondo definisce il formato di inserimento. Nel caso di insiemi finiti si equivalgono.

Le operazioni aritmetiche sui numeri sono mwsaaddizione, mwsqsottrazione, mwsgmoltiplicazione e mwswdivisione. Queste operazioni sono state generalizzate in una branca dell'mwtaalgebra chiamata mwtqalgebra astratta. Essa contiene i concetti di mwtggruppo, mwtwanello e mwuacampo.

In molte culture la rappresentazione grafica dei numeri è assai simile. I numeri "uno", "due" e "tre" degli mwuwantichi romani erano espressi come I, II, III (mwvanumeri romani). I mwvqcinesi usavano una notazione analoga, con le cifre in orizzontale, o in verticale, ma al contrario dei romani utilizzavano un mwvgsistema posizionale, simile al nostro attuale, con le mwvwcifre da mwwa0 a mwwq9. I numeri, detti mwwgtsu o mwwwhêng, cambiavano orientamento a seconda della posizione: | = | era 121, - || - ◦ era 1210. Gli tsu erano verticali, gli hêng orizzontali, i numeri sopra al cinque avevano una bacchetta disposta perpendicolarmente alle altre. Il sistema era impiegato con le mwxabacchette da calcolo, che i cinesi manovravano a velocità tali da stupire i primi mwxqmissionari nestoriani.

Tuttavia, non c'era un segno univoco per definire il quattro tra i romani, mentre per i cinesi era ||||. I romani usavano una notazione a sottrazione: esprimevano il quattro con una V preceduta da una I. La V indicava il numero cinque, il simbolo I anteposto indicava che andava sottratto (cinque meno uno = quattro). Nell'assegnare un simbolo particolare al cinque c'era un motivo mwxwantropomorfico - la mano ha cinque dita - ma vi era anche una motivazione che coinvolge il mwyacervello umano. Gli mwyqpsicologi hanno dimostrato che il nostro cervello ha difficoltà a distinguere più di cinque simboli simili vicini: si provi a dire se è più grande ||||||||| o ||||||||||; più semplice se sono scritti come IX e X.

Il sistema adottato in Europa è il mwywsistema di numerazione decimale, detto anche mwzanumerazione araba. In realtà proviene dall'mwzqIndia, e molto probabilmente deriva dai mwzgnumeri corsivi egiziani, i numeri copti. La cifra 1 è molto simile al simbolo romano, 2 e 3 sono varianti dello stesso simbolo che consentono di scrivere i numeri senza alzare la penna e quindi consentono una scrittura rapida, ma conservano l'idea della linea doppia o tripla orizzontale. Col simbolo 4 la corrispondenza si perde.

cite-note-11. ↑ citereftreccani-numeromw2gmw2wnumero, in mw3aTreccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

cite-note-22. ↑ mw4aZihua Weng, mw4qCompounding Fields and Their Quantum Equations in the Trigintaduonion Space, 2007.

cite-note-33. ↑ mw5qAleksandr Cariow e Galina Cariowa, mw5gAn algorithm for multipication of trigintaduonions, in mw5wJournal of Theoretical and Applied Computer Science, vol.mw6a 8, n.mw6q 1, 2014.

• mw7qCalcolo con le dita

• mw7wConto alla rovescia

• mw8qFar di conto

• mw8wLegge dei grandi numeri

• mw9qManoscritto di Bakhshali

• mw9wNome dei numeri

• mw-qNumbers station

• mw-wNumeri nella cultura cinese

• mw-qNumerologia

• mw-wOrdini di grandezza (numeri)

• mwaqeStoria dei numeri

• mwaqyCostanti matematiche

• mwaqgIntero di Eisenstein

• mwaqoNumeri amicabili

• mwaqwNumeri automorfi

• mwaq4Numeri ciclici

• mwaraNumeri colombiani

• mwariNumeri di Armstrong

• mwarqNumeri di Bell

• mwaryNumeri di Mersenne

• mwargNumeri maiuscoletti

• mwaroNumeri perfetti

• mwarwNumeri pratici

• mwar4Numeri primi

• mwasaNumeri schizofrenici

• mwasiNumeri triangolari

Altri progetti

• Wikiquote

• Wikizionario

• Wikiversità

• Wikimedia Commons

• Wikiquote contiene citazioni sul numero

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «numero»

• Wikiversità contiene risorse su numero

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su numero

• citereftreccani-itnumero, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefenciclopedia-italianaFederigo Enriques, Giacomo Devoto, Riccardo Bachi, Nicola Turchi, NUMERO, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1935.

• citerefdizionario-di-filosofianumero, in Dizionario di filosofia, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2009.

• citerefxxi-secoloUmberto Zannier, NUMERI, in XXI secolo, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2010.

• citerefbritannica-com(EN) number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefcyclop-dia-of-biblical-theological-and-ecclesiastical-literature(EN) Numero, in Cyclopædia of Biblical, Theological, and Ecclesiastical Literature, Harper.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Number, su MathWorld, Wolfram Research.